Volumes : sphère, cône, pyramide

Rappel — prismes et cylindres

Pyramide

Une pyramide a une base polygonale et un sommet $S$ situé hors de la base.

Volume

$V = \frac{1}{3} \times \mathcal A_{\text{base}} \times h$

où $h$ est la hauteur (distance du sommet au plan de la base, perpendiculairement).

Exemple

Pyramide à base carrée, côté $6$ cm, hauteur $10$ cm.

$V = \frac{1}{3} \times 6^2 \times 10 = \frac{360}{3} = 120 \text{ cm}^3$

Cône de révolution

Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit. Sa base est un disque.

Volume

$V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$

Exemple

Cône de rayon $4$ cm et hauteur $9$ cm.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = 48 \pi \approx 150{,}8 \text{ cm}^3$

Boule (sphère)

Volume de la boule de rayon $r$ : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$

Aire de la sphère de rayon $r$ : $\mathcal A = 4 \pi r^2$

Exemple

Boule de rayon $5$ cm.

$V = \frac{4}{3} \pi \times 5^3 = \frac{500 \pi}{3} \approx 523{,}6 \text{ cm}^3$

$\mathcal A = 4 \pi \times 5^2 = 100 \pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$

Effet d'une réduction sur le volume

Rappel. Une réduction de rapport $k$ multiplie :

• les longueurs par $k$,
• les aires par $k^2$,
• les volumes par $k^3$.

Exemple

Si on réduit un cône d'un rapport $\dfrac{1}{2}$ :

• son volume est multiplié par $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$.

Conversions de volumes

Pour les volumes, on saute trois colonnes par unité.

Et : $1$ dm³ $= 1$ L.

À retenir

• Pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \mathcal A_{\text{base}} \times h$.
• Cône : $V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$.
• Boule : $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ ; sphère : $\mathcal A = 4 \pi r^2$.
• Réduction de rapport $k$ : volumes ×$k^3$.