Proportionnalité et 4ᵉ proportionnelle

Reconnaître la proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant par un coefficient unique $k$.

Ici : $\text{prix} = 1{,}5 \times \text{quantité}$. Coefficient : $k = 1{,}5$.

Méthodes de résolution

1. Coefficient de proportionnalité

On cherche $k$ tel que $y = k \times x$, puis on l'applique aux autres colonnes.

2. Passage par l'unité

On calcule la valeur pour 1, puis on multiplie.

3. Quatrième proportionnelle (produit en croix)

Dans un tableau de proportionnalité :

$$\begin{array}{|c|c|} \hline a & ? \\ \hline b & d \\ \hline \end{array} \quad \Rightarrow \quad ? = \dfrac{a \times d}{b}$$

Mémo. « Diagonale connue / valeur en face », ou « produit des extrêmes = produit des moyens ».

Exemple — produit en croix

$3$ croissants coûtent $4{,}50$ €. Combien pour $7$ croissants ?

$? = \dfrac{7 \times 4{,}50}{3} = \dfrac{31{,}50}{3} = 10{,}50 \text{ €}$

Pourcentages

Un pourcentage $p\%$ est la fraction $\dfrac{p}{100}$.

Calculer $p\%$ d'une quantité

$p\% \text{ de } Q = \dfrac{p}{100} \times Q$

Exemple : $30\%$ de $250$ € $= \dfrac{30}{100} \times 250 = 75$ €.

Augmentations / réductions

• Augmenter de $p\%$ : multiplier par $\bigl(1 + \tfrac{p}{100}\bigr)$.
• Diminuer de $p\%$ : multiplier par $\bigl(1 - \tfrac{p}{100}\bigr)$.

Exemple. Une remise de $20\%$ sur $80$ € : $80 \times (1 - 0{,}20) = 80 \times 0{,}80 = 64$ €.

Représentation graphique

Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l'origine.

À retenir

• Proportionnalité ⇔ un seul coefficient $k$.
• Trois méthodes : coefficient, unité, produit en croix.
• $p\%$ d'une quantité $= \dfrac{p}{100} \times$ quantité.
• Augmenter de $p\%$ ⇔ multiplier par $1 + \tfrac{p}{100}$.