Nombres entiers et division euclidienne

À quoi servent les nombres entiers ?

Les nombres entiers naturels sont les nombres : $0, 1, 2, 3, 4, \dots$ Ils servent à compter et à ordonner.

L'ensemble de tous ces nombres s'appelle $\mathbb{N}$ (« N »).

La numération décimale

Chaque chiffre d'un nombre a une valeur qui dépend de sa position.

• C = Centaines
• D = Dizaines
• U = Unités

Exemple : dans $4\,235$, le chiffre 2 est le chiffre des centaines ; il vaut $200$.

Astuce. On sépare les classes par un espace : on écrit $1\,234\,567$ et non $1234567$.

Comparer deux entiers

Pour comparer deux entiers :

1. On compare le nombre de chiffres : celui qui en a le plus est le plus grand.
2. À égalité de chiffres, on compare les chiffres de gauche à droite.

Exemple : $4\,587 < 4\,612$ car ils ont le même nombre de chiffres et $5 < 6$ au rang des centaines.

La division euclidienne

Définition. Diviser un entier $a$ (le dividende) par un entier $b$ non nul (le diviseur), c'est trouver deux entiers $q$ et $r$ (le quotient et le reste) tels que :

$a = b \times q + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$

Exemple

Effectuer la division euclidienne de $47$ par $6$ :

$47 = 6 \times 7 + 5$

Le quotient est $q = 7$ et le reste est $r = 5$.

Illustration

Multiples et diviseurs

• $b$ est un diviseur de $a$ si la division de $a$ par $b$ a un reste nul. On dit aussi que $a$ est un multiple de $b$.
• Tout entier est multiple de $1$ et de lui-même.
• $0$ est multiple de tous les nombres entiers.

Critères de divisibilité

À retenir

• Dans une division euclidienne, le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur.
• Pour comparer deux entiers, on compte d'abord les chiffres.
• Les critères de divisibilité permettent de dire rapidement si un nombre est divisible par $2, 3, 5, 9$ ou $10$.