Calcul littéral : développement et factorisation

Rappels de 4e

Distributivité simple

$k(a + b) = ka + kb$

Double distributivité

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Identités remarquables

Trois formules à connaître par cœur : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Démonstration de $(a+b)^2$

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Développer

Exemple — $(a+b)^2$

$(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot 5 \cdot x + 5^2 = x^2 + 10x + 25$

Exemple — $(a-b)^2$

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

Exemple — $(a+b)(a-b)$

$(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$

Factoriser

Trois cas typiques de factorisation :

1. Facteur commun : $ka + kb = k(a + b)$.
2. Différence de carrés : $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
3. Carré parfait : $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.

Exemples

Facteur commun

$3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$

Différence de carrés

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x + 5)(x - 5)$

$4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x + 3)(2x - 3)$

Carré parfait

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

Cas plus complexe

$(x+1)^2 - 16 = (x+1)^2 - 4^2 = (x+1+4)(x+1-4) = (x+5)(x-3)$

Méthode pour factoriser

1. Y a-t-il un facteur commun ? Le mettre en facteur.
2. Reconnaît-on une identité remarquable ($a^2 - b^2$, carré parfait) ?
3. Sinon, on cherche un autre facteur commun déguisé.

Importance pour les équations

La factorisation servira à résoudre des équations-produits :

$A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \text{ ou } B(x) = 0$

(voir chapitre Équations)

À retenir

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
• Pour factoriser : facteur commun, puis identité remarquable.