Racines carrées

Définition

Soit $a \geq 0$. La racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif dont le carré vaut $a$.

$(\sqrt{a})^2 = a \qquad \sqrt{a^2} = |a|$

Attention. $\sqrt{a}$ n'existe que pour $a \geq 0$.

Exemples

$\sqrt{0} = 0 \qquad \sqrt{1} = 1 \qquad \sqrt{4} = 2 \qquad \sqrt{9} = 3 \qquad \sqrt{16} = 4$

Carrés parfaits

Les carrés parfaits sont à connaître par cœur jusqu'à $15^2 = 225$.

Règles de calcul

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

ATTENTION : en général, $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! Par exemple, $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Simplification d'une racine

Méthode. On cherche le plus grand carré parfait qui divise $a$ et on l'extrait.

Exemple

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

Sommes et différences

On peut additionner des racines uniquement si elles ont la même partie sous la racine.

Exemple

$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

$\sqrt{50} + \sqrt{8} = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

$\sqrt{2} + \sqrt{3} \quad \text{ne se simplifie pas}$

Rendre rationnel un dénominateur

Astuce : on multiplie en haut et en bas par la même racine.

Exemple

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Approximation

À la calculatrice :

$\sqrt{2} \approx 1{,}414 \qquad \sqrt{3} \approx 1{,}732 \qquad \sqrt{5} \approx 2{,}236$

À retenir

• $\sqrt{a}$ existe pour $a \geq 0$ ; $(\sqrt a)^2 = a$.
• $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ et $\sqrt{a/b} = \sqrt a / \sqrt b$.
• $\sqrt{a + b} \neq \sqrt a + \sqrt b$ !
• Simplifier : extraire le plus grand carré parfait sous la racine.