Fonctions linéaires et affines

Vocabulaire

Une fonction $f$ associe, à chaque nombre $x$, un seul nombre noté $f(x)$.

• $x$ : antécédent.
• $f(x)$ : image de $x$ par $f$.
• $y = f(x)$ : équation du graphique.

Notation : $f : x \mapsto f(x)$.

Fonctions linéaires

Définition. Une fonction $f$ est linéaire s'il existe un nombre $a$ tel que : $f(x) = a \, x$

$a$ est le coefficient de la fonction.

Propriétés

• La représentation graphique est une droite passant par l'origine.
• $f(x)$ est proportionnelle à $x$ ; coefficient de proportionnalité = $a$.
• $a$ est aussi le coefficient directeur de la droite.

Exemple

$f(x) = 3x$ : $f(2) = 6$, $f(-1) = -3$. Droite passant par $(0, 0)$ et $(1, 3)$.

Fonctions affines

Définition. Une fonction $f$ est affine s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que : $f(x) = a \, x + b$

$a$ : coefficient directeur ; $b$ : ordonnée à l'origine.

Propriétés

• La représentation graphique est une droite.
• Elle passe par le point $(0 \, ; \, b)$.
• Le coefficient $a$ donne la pente : si $x$ augmente de $1$, on monte (cas $a > 0$) ou on descend (cas $a < 0$) de $|a|$ pour rejoindre la droite.

Cas particuliers

• Si $b = 0$ : $f$ est linéaire (droite passant par O).
• Si $a = 0$ : $f$ est constante, $f(x) = b$ (droite horizontale).

Calculer le coefficient directeur

À partir de deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ d'une droite (avec $x_1 \neq x_2$) :

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Exemple

Droite passant par $(1, 5)$ et $(4, 11)$ :

$a = \frac{11 - 5}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Déterminer une fonction affine

Pour trouver $f(x) = ax + b$ à partir de deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

1. Calculer $a$ par la formule ci-dessus.
2. Utiliser un des points pour trouver $b$ : $b = y_A - a \, x_A$.

Exemple

$f$ affine, $f(1) = 5$ et $f(4) = 11$.

• $a = \dfrac{11 - 5}{4 - 1} = 2$.
• $b = 5 - 2 \times 1 = 3$.
• Donc $f(x) = 2x + 3$.

Calculer image et antécédent

Image (calculatoire)

Si $f(x) = 2x + 3$ : $f(5) = 2 \times 5 + 3 = 13$.

Antécédent (équation)

Si $f(x) = 17$ : on résout $2x + 3 = 17 \Rightarrow x = 7$.

À retenir

• Linéaire : $f(x) = ax$ ; affine : $f(x) = ax + b$.
• Représentation graphique : droite ; passe par O si linéaire.
• Coefficient directeur $a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
• Image = calcul direct ; antécédent = équation à résoudre.