Proportionnalité (consolidation)

Reconnaître une situation de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un nombre $k$ (non nul) tel que : $y = k \times x$

$k$ est le coefficient de proportionnalité.

Méthode dans un tableau. Calculer le rapport $\dfrac{y}{x}$ pour chaque colonne. Si tous les rapports sont égaux, il y a proportionnalité.

Exemple

$\dfrac{7}{2} = 3{,}5$, $\dfrac{17{,}5}{5} = 3{,}5$, $\dfrac{28}{8} = 3{,}5$ ⇒ proportionnalité, $k = 3{,}5$.

Quatrième proportionnelle

Pour compléter un tableau de proportionnalité :

Produit en croix. $? = \frac{b \times c}{a}$

Exemple

$3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Combien pour $5$ kg ?

$\text{prix} = \frac{7{,}50 \times 5}{3} = 12{,}50 \text{ €}$

Représentation graphique

Une situation de proportionnalité se représente par une droite passant par l'origine.

Inversement, toute droite passant par l'origine traduit une situation de proportionnalité.

Pourcentages — rappel

$t \%$ d'une quantité $Q$ : $\dfrac{t}{100} \times Q$.

Évolution d'un pourcentage :

• $+ t\%$ ⇒ $\times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)$
• $- t\%$ ⇒ $\times \left(1 - \dfrac{t}{100}\right)$

Évolutions successives

On multiplie les coefficients multiplicateurs.

Exemple

$+ 20\%$ puis $- 10\%$ :

$1{,}20 \times 0{,}90 = 1{,}08$

⇒ évolution globale : $+ 8\%$.

Vitesses — rappel

$v = \dfrac{d}{t} \qquad d = v \times t$

$1$ m/s $= 3{,}6$ km/h.

Exemple

Un cycliste roule à $24$ km/h pendant $45$ min.

$45$ min $= 0{,}75$ h ⇒ $d = 24 \times 0{,}75 = 18$ km.

Échelles — rappel

$\text{échelle} = \frac{\text{plan}}{\text{réel}}$

(les deux dans la même unité)

Exemple

Carte au $1/200\,000$. Une ville à $5$ km dans la réalité ⇒ sur la carte : $5\,000\,000$ mm $\div 200\,000 = 25$ mm.

À retenir

• Proportionnalité ⇔ rapports $\dfrac{y}{x}$ tous égaux.
• 4ᵉ proportionnelle : produit en croix.
• Représentation : droite par O.
• $+ t\%$ ⇒ $\times (1 + t/100)$ ; évolutions successives = produit des coefficients.