Théorème de Thalès

Configuration de Thalès

On part de deux demi-droites issues de $O$.

Les points $D$ et $A$ sont sur la première demi-droite, les points $E$ et $B$ sur la seconde, avec $(DE)$ et $(AB)$ parallèles.

On obtient alors deux triangles emboîtés : le petit triangle $ODE$ et le grand triangle $OAB$.

Théorème de Thalès

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Théorème de Thalès

Théorème. Soient deux demi-droites issues de $O$, avec $D \in [OA]$ et $E \in [OB]$.

Si $(DE)$ et $(AB)$ sont parallèles, alors : $\frac{OD}{OA} = \frac{OE}{OB} = \frac{DE}{AB}$

Méthode

1. Vérifier la configuration (alignements depuis le sommet commun + parallèles).
2. Écrire les trois rapports dans le bon ordre : sommet commun, point « intérieur » au numérateur, point « extérieur » au dénominateur.
3. Calculer la longueur cherchée par produit en croix.

Exemple

Dans la configuration ci-dessus, $OD = 4$, $OA = 6$, $OE = 5$ et $DE = 3$. Calculer $AB$.

$\frac{OD}{OA} = \frac{DE}{AB} \iff \frac{4}{6} = \frac{3}{AB}$

$AB = \frac{3 \times 6}{4} = 4{,}5$

Configuration "papillon"

Le théorème s'applique aussi quand les triangles sont « tête-bêche », à condition que $O$ soit entre les deux côtés parallèles.

Théorème de Thalès - configuration papillon

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Réciproque de Thalès

Réciproque. Si :

1. $O$, $D$, $A$ sont alignés dans le même ordre que $O$, $E$, $B$ ;
2. $\dfrac{OD}{OA} = \dfrac{OE}{OB}$,

alors $(DE) \parallel (AB)$.

Important. Les deux conditions sont nécessaires : ordre et égalité des rapports.

Méthode

1. Calculer séparément les deux rapports.
2. Comparer.
3. S'ils sont égaux et l'alignement est dans le même ordre, conclure que les droites sont parallèles.

Exemple

$O$, $D$, $A$ alignés avec $OD = 3$, $OA = 5$ ; $O$, $E$, $B$ alignés avec $OE = 6$, $OB = 10$. Les droites $(DE)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ?

• $\dfrac{OD}{OA} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.
• $\dfrac{OE}{OB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.
• Égalité ⇒ $(DE) \parallel (AB)$.

À retenir

• Configuration : deux demi-droites issues de $O$, deux droites parallèles.
• Théorème : trois rapports égaux : $\dfrac{OD}{OA} = \dfrac{OE}{OB} = \dfrac{DE}{AB}$.
• Réciproque : si alignement dans le même ordre et rapports égaux ⇒ parallélisme.
• Toujours citer le parallélisme comme hypothèse en utilisant le théorème direct.