Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définitions

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{B}$ :

$\cos(\widehat{B}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\sin(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan(\widehat{B}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Mémo : « SOH CAH TOA » — Sinus = Opposé / Hypoténuse, Cosinus = Adjacent / Hypoténuse, Tangente = Opposé / Adjacent.

Attention : les notions « opposé » et « adjacent » dépendent de l'angle aigu considéré, pas de l'angle droit !

Encadrements

Pour un angle aigu $\alpha$ ($0 < \alpha < 90°$) :

$0 < \sin(\alpha) < 1 \qquad 0 < \cos(\alpha) < 1 \qquad \tan(\alpha) > 0$

Calculer un côté

Si on connaît un angle aigu et un côté, on peut calculer un autre côté.

Avec le cosinus

Soit triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 40°$, $BC = 12$. Calculer $AB$.

$\cos(40°) = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{12}$ donc $AB = 12 \times \cos(40°) \approx 9{,}19$

Avec le sinus

Même triangle, calculer $AC$.

$\sin(40°) = \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{12}$ donc $AC = 12 \times \sin(40°) \approx 7{,}71$

Avec la tangente

Soit triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{B} = 35°$, $AB = 8$. Calculer $AC$.

$\tan(35°) = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{8}$ donc $AC = 8 \times \tan(35°) \approx 5{,}60$

Calculer un angle

Si on connaît deux côtés d'un triangle rectangle, on retrouve l'angle aigu avec $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$.

Méthode

1. Identifier opposé et adjacent par rapport à l'angle cherché.
2. Choisir la formule où on connaît les deux longueurs.
3. Utiliser la touche $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice (mode degrés).

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$, $AB = 4$, $AC = 3$. Calculer $\widehat{B}$.

$\tan(\widehat{B}) = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} = 0{,}75$

$\widehat{B} = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87°$

Valeurs remarquables

Formule fondamentale

Pour tout angle aigu $\alpha$ : $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$

(Conséquence directe du théorème de Pythagore.)

À retenir

• SOH CAH TOA : sinus, cosinus, tangente dans un triangle rectangle.
• Pour un côté : multiplier par $\cos$, $\sin$ ou $\tan$ de l'angle.
• Pour un angle : touches $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$, en mode degrés.
• $\cos^2 + \sin^2 = 1$.