Probabilités d'événements

Vocabulaire

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard.
• Une issue : un résultat possible.
• Un événement : un ensemble d'issues.
• La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, mesure la « chance » qu'il se produise.

Encadrement fondamental. $0 \leq P(A) \leq 1$

$P(A) = 0$ : événement impossible ; $P(A) = 1$ : événement certain.

Cas d'équiprobabilité

Si toutes les issues ont la même probabilité :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues totales}}$

Exemples classiques

• Dé à 6 faces. $P(\text{obtenir un } 4) = \dfrac{1}{6}$.
• $P(\text{obtenir un nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
• Pièce de monnaie. $P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2}$.

Événement contraire

L'événement contraire de $A$, noté $\overline{A}$, est l'événement « $A$ ne se réalise pas ».

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

Exemple

Lancer d'un dé : $A$ = « obtenir un $6$ ». Alors $\overline{A}$ = « ne pas obtenir un $6$ ».

• $P(A) = \dfrac{1}{6}$
• $P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

$P(A \text{ ou } B) = P(A) + P(B) \quad (\text{si incompatibles})$

Exemple

Lancer d'un dé. $A$ = « pair », $B$ = « obtenir un $1$ ».

• $A$ et $B$ sont incompatibles.
• $P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Loi des grands nombres (intuition)

Si on répète beaucoup une expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité.

Lancer un dé 6 fois ne donnera pas exactement un $6$ par face. Mais lancer 6000 fois donnera environ $1000$ apparitions de chaque face.

À retenir

• $0 \leq P(A) \leq 1$.
• Équiprobabilité : $P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$.
• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
• Incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.