Statistiques : médiane et étendue

Vocabulaire

• Une série statistique est une liste de valeurs.
• L'effectif d'une valeur : nombre de fois où elle apparaît.
• L'effectif total $N$ : nombre total de données.
• La fréquence d'une valeur : $f = \dfrac{\text{effectif}}{N}$.

Indicateurs de tendance centrale

Moyenne

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$

Pour une moyenne pondérée par effectifs $n_i$ :

$\overline{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_p x_p}{N}$

Médiane

La médiane $M$ partage la série ordonnée en deux moitiés : au moins $50\%$ des valeurs sont $\leq M$, et au moins $50\%$ sont $\geq M$.

Méthode.

1. Classer les valeurs dans l'ordre croissant.
2. Si $N$ est impair : la médiane est la valeur du milieu (rang $\frac{N+1}{2}$).
3. Si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple

Série : $4, 7, 9, 12, 15, 18, 21$. ($N = 7$, impair)

$\frac{N+1}{2} = 4$ ⇒ médiane = $4^{\text{e}}$ valeur = $\boxed{12}$.

Série : $4, 7, 9, 12, 15, 18$. ($N = 6$, pair)

Médiane = $\dfrac{9 + 12}{2} = 10{,}5$.

Indicateur de dispersion : étendue

L'étendue = valeur maximale − valeur minimale.

C'est l'amplitude de la série.

Exemple

Pour $4, 7, 9, 12, 15, 18, 21$ : étendue = $21 - 4 = 17$.

Médiane vs moyenne

Quand une série contient des valeurs très éloignées des autres, la médiane est souvent plus représentative que la moyenne.

On dit que la médiane est plus robuste : si une valeur extrême change beaucoup, la médiane change peu ou pas, car elle dépend surtout de la position centrale dans la série ordonnée.

La moyenne, elle, utilise toutes les valeurs dans le calcul. Une seule valeur très grande ou très petite peut donc la tirer fortement vers le haut ou vers le bas.

Exemple frappant

Salaires de $5$ employés : $1500, 1600, 1700, 1800, 10\,000$ (en €).

• Moyenne $= \dfrac{1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 10000}{5} = 3320$ €.
• Médiane $= 1700$ €.

La médiane décrit beaucoup mieux le salaire « typique ».

Si le dernier salaire passait de $10\,000$ € à $50\,000$ €, la médiane resterait $1700$ €, mais la moyenne deviendrait beaucoup plus grande. C'est exactement ce que veut dire « robuste aux valeurs extrêmes ».

À retenir

• Moyenne : somme ÷ effectif total.
• Médiane : valeur centrale de la série ordonnée.
• Étendue = max − min.
• La médiane est plus robuste que la moyenne aux valeurs extrêmes : elle décrit souvent mieux une valeur « typique » quand une donnée est très éloignée des autres.