Proportionnalité : vitesses et échelles

Rappel — Tableau de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Coefficient : $k = 1{,}5$ ⇒ $y = 1{,}5 \, x$.

Vitesse moyenne

$v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v}$

avec :

• $d$ : distance,
• $t$ : durée,
• $v$ : vitesse moyenne.

Attention aux unités ! Vérifier qu'elles sont cohérentes (km/h ↔ km et h ; m/s ↔ m et s).

Exemple

Un train parcourt $300$ km en $2{,}5$ h.

$v = \frac{300}{2{,}5} = 120 \text{ km/h}$

Conversion km/h ↔ m/s

$1 \text{ m/s} = 3{,}6 \text{ km/h}$

Pour passer de m/s à km/h : multiplier par $3{,}6$. Pour l'inverse : diviser.

Échelles

L'échelle d'un plan ou d'une carte est le rapport :

$\text{échelle} = \frac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$

Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité !

Exemple

Une carte au $1/25\,000$ : $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm $= 250$ m en réalité.

Comme l'échelle vaut $\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$, elle est souvent un petit nombre :

$\frac{1}{25\,000}$

Pour passer de la carte au réel, on divise par ce petit nombre, ce qui revient à multiplier par le dénominateur :

$\text{distance réelle} = \text{distance sur plan} \div \frac{1}{25\,000} = \text{distance sur plan} \times 25\,000$

Dans l'autre sens :

$\text{distance sur plan} = \text{distance réelle} \times \frac{1}{25\,000} = \text{distance réelle} \div 25\,000$

À l'échelle $1/25\,000$ : carte $\to$ réel, on multiplie par $25\,000$ ; réel $\to$ carte, on divise par $25\,000$.

Calcul

Sur une carte au $1/50\,000$, deux villes sont distantes de $8$ cm. Distance réelle ?

$d = 8 \text{ cm} \times 50\,000 = 400\,000 \text{ cm} = 4 \text{ km}$

Tableau récapitulatif des conversions

À retenir

• $v = \dfrac{d}{t}$ — attention aux unités cohérentes.
• $1$ m/s $= 3{,}6$ km/h.
• Échelle = $\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$ (même unité).
• À l'échelle $1/n$ : carte $\to$ réel, on multiplie par $n$ ; réel $\to$ carte, on divise par $n$.