Théorème de Pythagore

Énoncé du théorème

Théorème de Pythagore. Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$, alors : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

Le côté $BC$, opposé à l'angle droit, est appelé hypoténuse. C'est le plus long côté.

Utilisation directe — calculer l'hypoténuse

Si on connaît les deux côtés de l'angle droit, on calcule l'hypoténuse.

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Calculer $BC$.

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$

Utilisation — calculer un côté de l'angle droit

Si on connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on peut trouver l'autre.

$AB^2 = BC^2 - AC^2$

Exemple

$ABC$ rectangle en $A$ avec $BC = 13$ cm, $AC = 5$ cm. Calculer $AB$.

$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$AB = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$

Réciproque — démontrer qu'un triangle est rectangle

Réciproque de Pythagore. Si dans un triangle $ABC$, on a $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en $A$.

Méthode.

1. Identifier le plus grand côté (futur candidat à l'hypoténuse).
2. Calculer séparément le carré du plus grand côté, et la somme des carrés des deux autres.
3. Comparer.

Exemple

Le triangle $ABC$ avec $AB = 5$, $AC = 12$, $BC = 13$ est-il rectangle ?

• Plus grand côté : $BC = 13$.
• $BC^2 = 169$.
• $AB^2 + AC^2 = 25 + 144 = 169$.
• Égalité ⇒ oui, $ABC$ est rectangle en $A$.

Contre-exemple

Le triangle de côtés $5$, $6$, $8$ ?

• $8^2 = 64$
• $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$
• $64 \neq 61$ ⇒ non rectangle.

À retenir

• Triangle rectangle ⇒ hypoténuse² = somme des carrés des deux autres côtés.
• Pour calculer un côté de l'angle droit : on soustrait.
• Réciproque : si $\text{(grand côté)}^2 =$ somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle.
• L'hypoténuse est opposée à l'angle droit.