Symétrie centrale

Définition

La symétrie centrale de centre $O$ associe à chaque point $A$ son symétrique $A'$ tel que :

$O \text{ est le milieu de } [AA']$

On peut aussi la voir comme une rotation de $180°$ autour du point $O$.

Point fixe. L'image du centre $O$ par la symétrie de centre $O$ est $O$ lui-même.

Construction du symétrique

Méthode. Pour construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$ :

1. Tracer la droite $(AO)$.
2. Reporter la longueur $OA$ de l'autre côté de $O$ sur cette droite.
3. Placer $A'$ pour que $O$ soit le milieu de $[AA']$.

Coordonnées

Si $A(x_A ; y_A)$ a pour symétrique $A'(x_{A'} ; y_{A'})$ par rapport au centre $O(x_O ; y_O)$, alors :

$x_{A'} = 2x_O - x_A$

$y_{A'} = 2y_O - y_A$

Cas particulier : si $O$ est l'origine du repère, alors $A'( -x_A ; -y_A )$.

Propriétés

La symétrie centrale conserve :

• les longueurs,
• les angles,
• les aires,
• l'alignement des points,
• le parallélisme.

Centre de symétrie d'une figure

Une figure admet $O$ comme centre de symétrie si son image par la symétrie de centre $O$ est elle-même.

Exemples :

• Un parallélogramme admet pour centre le point d'intersection de ses diagonales.
• Un rectangle admet aussi pour centre l'intersection de ses diagonales.
• Un cercle admet son propre centre comme centre de symétrie.

À retenir

• Symétrie centrale = rotation de $180°$ autour de $O$.
• $O$ est le milieu de $[AA']$.
• En coordonnées : $A'(2x_O - x_A ; 2y_O - y_A)$.
• Elle conserve longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme.