Fractions : addition et soustraction

Rappels

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ avec $b \neq 0$ représente un partage : $a$ parts sur $b$.

Égalité fondamentale. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ pour tout $k \neq 0$.

Simplifier une fraction

Simplifier, c'est diviser numérateur et dénominateur par un même nombre (autre que $1$).

$\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.

Mettre au même dénominateur

Pour additionner ou comparer, on doit rendre les dénominateurs identiques.

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} + \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12}$

Astuce. Multiplier les deux dénominateurs entre eux donne toujours un dénominateur commun (mais pas toujours le plus petit).

Addition et soustraction de fractions

Avec le même dénominateur

On additionne (ou soustrait) les numérateurs ; le dénominateur ne change pas.

$\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$

Exemple : $\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{7}{5}$

Avec des dénominateurs différents

1. On met au même dénominateur.
2. On additionne les numérateurs.
3. On simplifie si possible.

Exemple :

$$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$$

Fractions et entiers

On peut écrire un entier comme une fraction de dénominateur $1$ :

$5 = \dfrac{5}{1}$

Pour additionner un entier et une fraction :

$2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$

Comparer deux fractions

• Mêmes dénominateurs : la plus grande est celle de plus grand numérateur.
• Dénominateurs différents : on les met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
• Avec $1$ : $\dfrac{a}{b} < 1 \Leftrightarrow a < b$.

À retenir

• Pour additionner ou soustraire, il faut un dénominateur commun.
• On simplifie le résultat tant que c'est possible.
• $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.