Nombres relatifs (addition, soustraction)

Qu'est-ce qu'un nombre relatif ?

Un nombre relatif est un nombre avec un signe : positif ($+$) ou négatif ($-$).

• Les positifs : $+3$, $+7{,}5$, $+\dfrac{1}{2}$ (souvent on omet le $+$).
• Les négatifs : $-3$, $-7{,}5$, $-\dfrac{1}{2}$.
• $0$ est à la fois positif et négatif.

L'ensemble des entiers relatifs s'appelle $\mathbb{Z}$.

Distance à zéro

La distance à zéro d'un nombre relatif est sa valeur sans le signe.

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro. L'opposé de $-3$ est $+3$.

Comparer des nombres relatifs

• Tout nombre négatif est plus petit que tout nombre positif.
• Entre deux négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples : $-7 < -2$ ; $-3 < +1$ ; $0 > -5$.

Addition de relatifs

Cas 1 — mêmes signes

On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.

$$(+3) + (+5) = +8 \qquad (-4) + (-7) = -11$$

Cas 2 — signes différents

On soustrait la plus petite distance à la plus grande, et on garde le signe du nombre de plus grande distance.

$$(+8) + (-3) = +5 \qquad (-7) + (+2) = -5$$

Soustraction de relatifs

Règle. Soustraire un nombre, c'est additionner son opposé.

$$a - b = a + (-b)$$

Exemples : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \qquad -2 - (+7) = -2 + (-7) = -9$

Simplifier l'écriture

On peut enlever les parenthèses et le signe $+$ devant un nombre positif :

$(+5) + (-3) = 5 - 3 = 2$ $(-4) - (-7) = -4 + 7 = 3$

À retenir

• Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
• Soustraire = ajouter l'opposé.
• Pour additionner : mêmes signes → on garde, signes contraires → on soustrait.