Symétrie centrale

Définition

La symétrie centrale de centre $O$ associe à chaque point $A$ son symétrique $A'$ tel que :

$O \text{ est le milieu de } [AA']$

On dit que $A'$ est l'image de $A$ par la symétrie de centre $O$.

Image du centre. L'image de $O$ par la symétrie de centre $O$ est… $O$ lui-même.

Construction du symétrique

Méthode. Pour construire $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$ :

1. Tracer la droite $(AO)$.
2. Reporter la longueur $OA$ de l'autre côté de $O$ sur cette droite.
3. $A'$ est tel que $O$ est milieu de $[AA']$.

Propriétés

La symétrie centrale conserve :

• les longueurs,
• les angles,
• les aires,
• l'alignement des points.

Une figure et son image par symétrie centrale sont superposables, mais l'une est « retournée » par rapport à l'autre.

Différence avec la symétrie axiale

Centre de symétrie d'une figure

Une figure admet $O$ comme centre de symétrie si son image par la symétrie de centre $O$ est elle-même.

Exemples :

• Un parallélogramme admet pour centre le point d'intersection de ses diagonales.
• Un cercle admet son centre.
• Un rectangle admet pour centre l'intersection des diagonales.

À retenir

• Symétrie centrale = « tour de $180°$ autour de $O$ ».
• $O$ milieu de $[AA']$.
• Conserve longueurs, angles et aires.
• Le parallélogramme a son centre de symétrie au point d'intersection de ses diagonales.